EXISTENCE AND UNIQUENESS OF SOLUTIONS OF HIGH-ORDER EQUATIONS

Abstract. In this paper, we investigate a boundary value problem in the band for a degenerate high-order elliptic equation. The equation contains special weight derivatives up to order 2m and ordinary partial derivatives up to order 2k ´ 1. It is assumed that 2m ą 2k ´ 1. General boundary conditions are set on the boundary t “0, and homogeneous Dirichlet conditions are set on the boundary t “d. In this paper we prove a theorem on the existence and uniqueness of the solution of such a boundary value problem. Under certain conditions, it is proved that this solution belongs to a special weight space of The Sobolev space type.

1. Вишик М. И. Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области / М. И. Вишик, В. В. Грушин // Математический сборник. – 1969. – Т. 80 (112), вып. 4. – С. 455-491.

2. Вишик М. И. Вырождающиеся эллиптические дифференциальные и псевдо-дифференциальные операторы / М. И. Ви-шик, В. В. Грушин // Успехи математических наук. – 1970. – Т. 25, вып. 4. – С. 29-56.

3. Глушко В. П. Априорные оценки решений краевых задач для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка / В. П. Глушко; Воронеж. гос. ун-т. – Воронеж, 1979. – 47 с. –Деп. в ВИНИТИ 27.03.79. – № 1048-79.

4. Баев А. Д. Вырождающиеся эллиптические уравнения высокого порядка и связанные с ними псевдодифференциальные операторы / А. Д. Баев // Доклады Академии наук. – 1982. – Т. 265. – № 5. – С. 1044-1046.

5. Баев А. Д. Качественные методы теории краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений / А. Д. Баев. – Воронеж: Воронеж. гос. ун-т, 2008. – 240 с.

6. Баев А. Д. Об общих краевых задачах в полупространстве для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка / А. Д. Баев // Доклады Академии наук. – 2008. – Т. 422. – № 6. – С. 727-728.